Zauważmy też, że współczynniki złożenia są elementami iloczynu macierzy
Można to symbolicznie zapisać
Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy nad tym samym ciałem.
Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.
Rozkład homografii
Dla homografii, dla której dostajemy
Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:
Jeśli zaś to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:
jednokładności:
translacji:
W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci
Weźmy dwie dowolne homografie:
gdzie
Wówczas oznaczając dostaniemy:
czyli
gdzie h2, h1 są liniowymi funkcjami:
Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.
Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej
Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:
gdzie oraz są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.
Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.
Ponieważ
więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) dostaniemy:
Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych.
Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.
Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej
Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki były liczbami rzeczywistymi.
Wykres
Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.
Punkt to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów oraz Jest ona
przedziałami malejąca gdy oraz
przedziałami rosnąca
Przesunięcie wykresu hiperboli
Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej gdzie oraz powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich mamy
Zatem wykres funkcji powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu
Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: ) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).
Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję
W optyce geometrycznej, zarówno katoptryce, jak i dioptryce, używane jest równanie zwierciadła lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem.
Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed. [dostęp 2009-05-01]. (ang.). – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej