Pierwszy wzór jest znany jako postać ogólna funkcji kwadratowej lub trójmian kwadratowy[3], a drugi jako postać kanoniczna[4]. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w dalszej sekcji.
Zagadnienie miejsc zerowych takiej funkcji to równanie kwadratowe. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także postać iloczynowa takiej funkcji[5] – rozkład na czynniki liniowe[6]. W dalszej sekcji opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych.
Wyrażenie (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej [7]. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:
W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znakuwyróżnika ()[7], co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:
Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika[c]. W przypadku nieujemnym () otrzymuje się:
Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią układu. W szczególności co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).
We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:
każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi
daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi jeżeli to są one skierowane przeciwnie[7],
zwiększanie sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
zmiana powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem jeżeli lub przeciwnie do niego, jeżeli
parametr odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż zgodnie z jej zwrotem, gdy lub przeciwnie do niego, gdy
Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli:
to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem względem paraboli będącej wykresem jest równa[potrzebny przypis]:
monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale po czym rośnie (maleje) w przedziale dla
ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla i maksimum dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
Funkcja kwadratowa gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) Siatka izometryczna składa się z dwóch rodzin hiperbol:
Wojciech Babiański, Lech Chańko, Karolina Wej: Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Warszawa: Wydawnictwo Nowa Era, 2022. ISBN 978-83-267-3486-1.
Jerzy Królikowski, Celestyn Steckiewicz: Matematyka. Wzory, definicje i tablice. Wyd. VIII poprawione. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1964.
Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.