Loi de Dagum
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Densité de probabilité
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Paramètres
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paramètre de forme
paramètre de forme
paramètre d'échelle
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Support
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Espérance
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Médiane
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Mode
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Variance
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En théorie des probabilités et statistique, la loi de Dagum, ou loi à deux types de Dagum-Bernstein-Rafeh-Raja-Spencer, est une loi de probabilité continue à support [0,+∞[. Son nom est issu de Camilo Dagum qui l'introduisit dans une série d'articles dans les années 1970[1],[2]. La loi de Dagum apparait dans plusieurs variantes de nouveaux modèles de revenus des ménages.
Il existe également une loi de Dagum de type I à trois paramètres et une loi de Dagum de type II à quatre paramètres ; un résumé de ces types sont détaillés dans des ouvrages tels que (Kleiber, 2008[3]) ou (Kleiber, 2003[4]).
Si X suit une loi de Dagum, on notera
.
Définition
La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type I) est donnée par :
![{\displaystyle F(x;a,b,p)={\begin{cases}{\left(1+{\left({\dfrac {x}{b))\right)}^{-a}\right)}^{-p}&{\text{ si ))x>0\\0&{\text{ sinon))\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4dd916eeeb161a59a4c77b6f8322b7b078eb86)
et où
.
La densité de probabilité correspondante est donnée par
![{\displaystyle f(x;a,b,p)={\begin{cases}{\dfrac {ap}{x))\left({\frac {\left({\frac {x}{b))\right)^{ap)){\left(\left({\frac {x}{b))\right)^{a}+1\right)^{p+1))}\right)&{\text{ si ))x>0\\0&{\text{ sinon.))\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475a47d98cf6963748dd0e6888ed5543a794b138)
La loi de Dagum peut être obtenue à partir de la loi bêta généralisée de type II (elle-même généralisation de la loi bêta prime). Il y a également un lien entre la loi de Dagum et la loi de Burr :
.
La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type II) ajoute une masse à l'origine et suit une loi de Dagum de type I sur le reste du support :
![{\displaystyle F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta ){\left(1+{\left({\frac {x}{b))\right)}^{-a}\right)}^{-p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7309f52a128f34b4d5dd1c5e4396063cc8ac9d18)
Propriétés
La variance de la loi de Dagum est donnée par :
![{\displaystyle {\text{Var))(X)={\begin{cases}-{\dfrac {b^{2)){a^{2))}\left(2a{\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {2}{a))\right)\,\Gamma \left({\frac {2}{a))+p\right)}{\Gamma (p)))+\left({\dfrac {\Gamma \left(-{\frac {1}{a))\right)\Gamma \left({\frac {1}{a))+p\right)}{\Gamma (p)))\right)^{2}\right)&{\text{si))\ a>2\\[5pt]{\text{indéterminé))&{\text{ sinon))\ \end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a790dda957d71bc55edf7c396c9254f82da377df)
où Γ est la fonction Gamma.