où est un nombre réel et [1],[2]. Si est connu, le paramètre d'échelle est [1]. Les paramètres et correspondent respectivement aux paramètres de position et d'échelle de la loi de Cauchy associée[1],[3]. Certains auteurs définissent et comme, respectivement, les paramètres de position et d'échelle de la loi log-Cauchy[3].
Pour et , la loi log-Cauchy est associée à la loi de Cauchy standard, la densité de probabilité est alors réduite à[4] :
Le taux de hasard décroit au début et sur la dernière partie du support de la densité, mais il peut exister un intervalle sur lequel le taux de hasard croît[4].
La loi log-Cauchy est un exemple de loi à queue lourde[5]. Certains auteurs la considère comme une loi à « queue super-lourde », car elle possède une queue plus lourde que celles de type de la distribution de Pareto, c'est-à-dire qu'elle a une décroissance logarithmique[5],[6]. Comme avec la loi de Cauchy, aucun des moments (non triviaux) de la loi log-Cauchy n'est fini[4]. La moyenne et l'écart-type étant des moments, ils ne sont pas définis pour la loi log-Cauchy[7],[8].
La loi log-Cauchy est infiniment divisible pour certains paramètres[9]. Comme les lois log-normale, log-Student et de Weibull, la loi log-Cauchy est un cas particulier de loi bêta généralisée du second type[10],[11]. La loi log-Cauchy est en fait un cas particulier de la loi log-Student, comme la loi de Cauchy est un cas particulier de la loi de Student à un degré de liberté[12],[13].
Puisque la loi de Cauchy est une loi stable, la loi log-Cauchy est une loi log-stable[14].
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