Loi hypo-exponentielle
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
n =1,2,...
λ
i
>
0
{\displaystyle \lambda _{i}>0}
Support
x
∈
[
0
;
∞
[
{\displaystyle x\in [0;\infty [\!}
Densité de probabilité
∑
i
=
1
n
∏
j
≠
i
λ
j
λ
j
−
λ
i
λ
i
e
−
λ
i
x
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j)){\lambda _{j}-\lambda _{i))}\lambda _{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x))
Fonction de répartition
1
−
∑
i
=
1
n
∏
j
≠
i
λ
j
λ
j
−
λ
i
e
−
λ
i
x
{\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j)){\lambda _{j}-\lambda _{i))}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x))
Espérance
∑
i
=
1
k
1
/
λ
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,}
Médiane
ln
(
2
)
∑
i
=
1
k
1
/
λ
i
{\displaystyle \ln(2)\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,}
Variance
∑
i
=
1
k
1
/
λ
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2))
Asymétrie
∑
i
=
1
n
1
λ
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda _{i}^{2))))
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi hypo-exponentielle ou loi d'Erlang généralisée [ 1] est une loi de probabilité continue, à support semi-infini qui trouve des applications dans les mêmes domaines que la loi d'Erlang : théorie des files d'attente , ingénierie de trafic , etc. Le terme hypo vient du fait que le coefficient de variation de la loi est inférieur à un, comparativement à la loi hyper-exponentielle dont le coefficient de variation est supérieur à un et à la loi exponentielle dont le coefficient vaut un.
Une variable aléatoire qui suit une loi hypo-exponentielle sera notée :
Y
∼
H
y
p
o
(
λ
1
,
…
,
λ
n
)
{\displaystyle Y\sim \mathrm {Hypo} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}
.
La loi hypo-exponentielle définie comme la loi de la somme de n variables aléatoires
X
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\textstyle X_{i},\,i=1,\dots ,n}
de loi exponentielle indépendantes de paramètres respectifs :
λ
i
,
i
=
1
,
…
,
n
{\textstyle \lambda _{i},\,i=1,\dots ,n}
:
Y
=
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i))
avec
X
i
∼
E
(
λ
i
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {E))(\lambda _{i})}
.Le coefficient de variation minimum de la loi hypo-exponentielle est
1
/
n
{\displaystyle 1/n}
.
Dans le cas où les paramètres
λ
i
{\textstyle \lambda _{i))
sont tous distincts, la densité de probabilité de la loi hypo-exponentielle se calcule par récurrence [ 2] pour obtenir la formule :
f
X
(
x
)
=
{
∑
i
=
1
n
∏
j
≠
i
λ
j
λ
j
−
λ
i
λ
i
e
−
λ
i
x
si
x
>
0
0
sinon
{\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j)){\lambda _{j}-\lambda _{i))}\lambda _{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}&{\text{ si ))x>0\\0&{\text{ sinon ))\end{cases))}
La fonction de répartition de la loi hypo-exponentielle est donnée par[ 2] :
F
X
(
x
)
=
{
1
−
∑
i
=
1
n
∏
j
≠
i
λ
j
λ
j
−
λ
i
e
−
λ
i
x
si
x
>
0
0
sinon
{\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j)){\lambda _{j}-\lambda _{i))}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}&{\text{ si ))x>0\\0&{\text{ sinon ))\end{cases))}
avec le même critère pour le paramètres
λ
i
:
λ
i
≠
λ
j
,
si
i
≠
j
{\textstyle \lambda _{i}\;:\;\lambda _{i}\neq \lambda _{j},{\text{ si ))i\neq j}
.
↑ (en) Melania Calinescu , Forecasting and Capacity Planning for Ambulances Services , Amsterdam, rapport interne, 2009 , 19 p. (lire en ligne ) , p. 10
↑ a et b (en) Sheldon Ross , Introduction to Probability models , Elsevier , 2010 , 10e éd. , 784 p. (ISBN 978-0-12-375686-2 , lire en ligne ) , p. 308